Question

9．如图所示，在侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD∥BC，AD⊥AB，AB═$\sqrt{2}$，AD=2，BC=4，AA₁=2，E，F分别是DD₁，AA₁的中点．
（I）证明：EF∥平面B₁C₁CB；
（11）求多面体A₁B₁F-D₁C₁E的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知结合三角形的中位线定理可得AD∥BC，再由线面平行的判定得答案；
（Ⅱ）由多面体A₁B₁F-D₁C₁E的体积等于三棱柱A₁B₁F-D₁ME的体积与三棱锥C₁-D₁ME的体积之和，然后结合已知分别求解得答案．

解答 证明：（Ⅰ）∵E、F分别是DD₁、AA₁的中点，
∴EF∥AD，
又∵AD∥BC，
∴EF∥BC，而EF?平面B₁C₁CB，且BC?平面B₁C₁CB，
∴EF∥平面B₁C₁CB；
解：（Ⅱ）设B₁C₁中点为M，连接EM、D₁M，
由已知得：B₁C₁⊥平面EMD₁，且平面EMD₁∥平面FB₁A₁，
∴多面体A₁B₁F-D₁C₁E的体积等于三棱柱A₁B₁F-D₁ME的体积与三棱锥C₁-D₁ME的体积之和，
∵AD⊥AB，AB=$\sqrt{2}$，AD=2，BC=4，AA₁=2，
即，$V=\frac{1}{2}×1×\sqrt{2}×2+\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×\sqrt{2}×2$=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$，
∴多面体的体积A₁B₁F-D₁C₁E为$\frac{4\sqrt{2}}{3}$．

点评 本题考查直线与平面平行的判定，考查了棱柱、棱锥、棱台体积公式的求法，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．