Question

14．如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=90°．
（1）求证：PC⊥BC；
（2）求三棱锥A-BCP的体积．

Answer 1

分析 （1）由PD⊥平面ABCD可得PD⊥BC，又BC⊥CD，故BC⊥平面PCD，从而得出BC⊥PC；
（2）以△ABC为底面，则棱锥的高为PD，代入棱锥的体积公式计算即可．

解答 证明：（1）∵PD⊥平面ABCD，BC?平面ABCD
∴PD⊥BC，
∵∠BCD=90°，
∴BC⊥DC，
又PD∩DC=D，PD?平面PCD，DC?平面PCD，
∴BC⊥平面PCD，
∵PC?平面PCD，
∴PC⊥BC．
解：（2）连结AC，
∵AB∥DC，∠BCD=90°，
∴∠ABC=90°．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}AB•BC$=$\frac{1}{2}×2×1$=1．
∵PD⊥平面ABCD，
∴V_A-BCP=V_P-ABC=$\frac{1}{3}{S}_{△ABC}•PD$=$\frac{1}{3}×1×1=\frac{1}{3}$．

点评 本题考查了线面垂直的判定与性质，棱锥的体积计算，属于基础题．