Question

19．已知双曲线的一个焦点与抛物线y²=20x的焦点重合，其一条渐近线的斜率等于$\frac{3}{4}$，则该双曲线的标准方程为（　　）

• A． $\frac{{y}^{2}}{3}$-$\frac{{x}^{2}}{4}$=1
• B． $\frac{{x}^{2}}{3}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1
• C． $\frac{{y}^{2}}{16}$-$\frac{{x}^{2}}{9}$=1
• D． $\frac{{x}^{2}}{16}$-$\frac{{y}^{2}}{9}$=1

Answer 1

分析 求出抛物线的焦点，即有c=5，求得渐近线方程即有$\frac{b}{a}$=$\frac{3}{4}$，结合a，b，c的关系，即可解得a，b，进而得到双曲线方程．

解答 解：抛物线y²=20x的焦点为（5，0），
即有双曲线的焦点为（±5，0），
设双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0），
则c=5，
由渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x．
则有$\frac{b}{a}$=$\frac{3}{4}$，
又a²+b²=c²，
解得a=4，b=3，
则双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{16}$-$\frac{{y}^{2}}{9}$=1．
故选：D．

点评 本题考查抛物线和双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的渐近线方程的运用，考查运算能力，属于中档题．