Question

7．如图，四边形ABCD是直角梯形，AB∥CD，AB=$\frac{1}{2}$CD，AH⊥AD，平面ABCD⊥平面PAD，且△PAD为等边三角形，E是PA的中点，CF=$\frac{1}{4}$CD．
（I）证明：EF∥平面PBC；
（Ⅱ）若AB=$\frac{1}{2}$，AD=1，求几何体PABCD的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取PB的中点G，连接EG，CG，由三角形中位线定理可得EG∥CF，EG=CF，得到四边形EFCG为平行四边形，从而得到EF∥CG，然后由线面平行的判定得答案；
（Ⅱ）由已知求出ABCD为直角梯形的面积，求出面ABCD上的高，然后代入棱锥体积公式求得答案．

解答 证明：（Ⅰ）取PB的中点G，连接EG，CG，
则在△PAB中，EG∥AB，EG=$\frac{1}{2}AB$，
又∵$CF=\frac{1}{4}CD$，且AB∥CD，AB=$\frac{1}{2}CD$，
∴EG∥CD，$EG=\frac{1}{4}CD$，
∴EG∥CF，EG=CF，
∴四边形EFCG为平行四边形，
∴EF∥CG，
又EF?平面PBC，CG?平面PBC，
∴EF∥平面PBC；
解：（Ⅱ）∵AB=$\frac{1}{2}$，AD=1，且ABCD为直角梯形，
∴${S}_{ABCD}=\frac{1}{2}×（\frac{1}{2}+1）×1=\frac{3}{4}$，
取AD的中点H，连接PH，在等边三角形PAD中，PH⊥AD，
又平面ABCD⊥平面PAD，
且平面ABCD∩平面PAD=AD，
∴PH⊥平面ABCD，且PH=1×sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴${V}_{P-ABCD}=\frac{1}{3}{S}_{ABCD}•PH=\frac{1}{3}×\frac{3}{4}×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{8}$．

点评 本题考查直线与平面平行的判定，考查了棱柱、棱锥体积的求法，考查空间想象能力和思维能力，是中档题．