Question

20．在直角坐标平面内，点A，B的坐标分别为（2，-2），（2，2），不等式|x|+|y|≤2表示的平面区域记为M，设点P是线段AB上的动点，点Q是区域M上的动点，则线段PQ的中点的运动区域的面积是6．

Answer 1

分析 设出Q的坐标，PQ的中点坐标，利用已知条件列出不等式，画出可行域，求解即可．

解答 解：设线段PQ的中点（x，y），Q（m，n），P（2，t），t∈[-2，2]．
可得$\frac{m+2}{2}$=x，$\frac{n+t}{2}=y$，即m=2x-2，n=2y-t，
不等式|x|+|y|≤2表示的平面区域记为M，点Q是区域M上的动点，
可得：|2x-2|+|2y-t|≤2，t∈[-2，2]．
即：|x-1|+|y-$\frac{t}{2}$|≤1，t∈[-2，2]．
不等式表示的可行域如图：可得线段PQ的中点的运动区域的面积是一个长方形与两个等腰直角三角形的面积的和，即：2×2+2×$\frac{1}{2}$×2×1=6．
故答案为：6．

点评 本题考查线性规划的应用，转化思想以及计算能力．