Question

8．已知f（x）=|x+2|-|x-a|（a∈R，a＞0），
（Ⅰ） 若f（x）的最小值是-3，求a的值；
（Ⅱ） 求关于x的不等式|f（x）|≤2的解集．

Answer 1

分析 （Ⅰ）法一：写出f（x）的分段函数的形式，求出f（x）的最小值，从而求出a的值即可；法二：根据绝对值的性质求出f（x）的最小值，从而求出a的值即可；
（Ⅱ）写出f（x）的分段函数的形式，通过讨论x的范围求出各个区间上的不等式的解集，取并集即可．

解答 解：（Ⅰ）解法1：∵a＞0，
∴$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{-（a+2），\;（x＜-2）}\\{2x+2-a，\;（-2≤x＜a）}\\{a+2，\;（x≥a）}\end{array}}\right.$，--------------（2分）
当-2≤x＜a时，-2-a≤f（x）＜a+2，
∴当x∈R时，-2-a≤f（x）≤a+2---（4分）
∴f（x）_min=-（a+2）=-3，∴a=1；--------------------------------------------------（5分）
解法2：∵||x+2|-|x-a||≤|（x+2）-（x-a）|=a+2，----------------------（2分）
∴|f（x）|≤a+2，f（x）_min=-（a+2），---------------------------------------------（3分）
又已知f（x）_min=-3，∴a=1；-----------------------------------（5分）】
（Ⅱ）由（Ⅰ）知$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{-（a+2），\;（x＜-2）}\\{2x+2-a，\;（-2≤x＜a）}\\{a+2，\;（x≥a）}\end{array}}\right.$，（a＞0）
当x＜-2时，f（x）=-（a+2）＜-2，|f（x）|＞2，不等式|f（x）|≤2解集为空集---（6分）
当x≥a时，f（x）=a+2＞2，不等式|f（x）|≤2解集也为空集；----------------（7分）
当-2≤x＜a时，|f（x）|≤2，即-2≤2x+2-a≤2⇒$\frac{a}{2}-2＜x＜\frac{a}{2}$
∵$\frac{a}{2}-2＞-2$，$\frac{a}{2}＜a$，∴当-2≤x＜a时，|f（x）|≤2的解为$\frac{a}{2}-2＜x＜\frac{a}{2}$-----（9分）
综上得所求不等式的解集为$\{x|\frac{a}{2}-2＜x＜\frac{a}{2}\}$----------------------------（10分）

点评 本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想以及绝对值的性质，是一道中档题．