Question

16．直线3x-4y+4=0与抛物线x²=4y、圆x²+（y-1）²=1从左至右的交点依次为A，B，C，D，则$\frac{{|{CD}|}}{{|{AB}|}}$的值为$\frac{1}{16}$．

Answer 1

分析 由题意可得直线3x-4y+4=0过抛物线的焦点（即圆的圆心）F（0，1）点，由求得4y²-17y+4=0，可得y₁+y₂=$\frac{17}{4}$，y₁•y₂=1，由此能够推导出答案．

解答 解：由已知圆的方程为x²+（y-1）²=1，抛物线x²=4y的焦点为（0，1），
直线3x-4y+4=0过（0，1）点，则|AB|+|CD|=|AD|-2，
由$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}=4y}\\{3x-4y+4=0}\end{array}\right.$ 求得4y²-17y+4=0．
设A（x₁，y₁），D（x₂，y₂），则y₁+y₂=$\frac{17}{4}$，y₁•y₂=1．
∴y₁=$\frac{1}{4}$，y₂=4，
∴$\frac{{|{CD}|}}{{|{AB}|}}$=$\frac{|AF|-1}{|DF|-1}$=$\frac{（{y}_{1}+1）-1}{（{y}_{2}+1）-1}$=$\frac{{y}_{1}}{{y}_{2}}$=$\frac{1}{16}$，
故答案为：$\frac{1}{16}$．

点评 本题考查圆锥曲线和直线 的综合运用，解题时要注意合理地进行等价转化．