Question

4．设抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点为F，点T（t，0）（t＞0），且过点F的直线，交C于A，B．
（I）当t=2时，若过T的直线交抛物线C于两点，且两交点的纵坐标乘积为-4，求焦点F的坐标；
（Ⅱ）如图，直线AT、BT分别交抛物线C于点P、Q，连接PQ交x轴于点M，证明：|OF|，|OT|，|OM|成等比数列．

Answer 1

分析 （I）设过T的直线方程为x=my+t，代入y²=2px，利用韦达定理，结合两交点的纵坐标乘积为-4，t=2，求出p，即可求焦点F的坐标；
（Ⅱ）确定直线PQ的方程，令y=0可得x=-$\frac{{y}_{3}{y}_{4}}{2p}$=$\frac{2{t}^{2}}{p}$，证明|OF||OM|=|OT|²，即可得出结论．

解答 （I）解：设过T的直线方程为x=my+t，代入y²=2px，可得y²-2pmy-2pt=0，
由韦达定理可得，两根之积为-2pt，
∵两交点的纵坐标乘积为-4，
∴-2pt=4，
∵t=2，
∴p=1，
∴焦点F的坐标为（$\frac{1}{2}$，0））；
（Ⅱ）证明：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄）
同理可得，y₁y₂=-p²，y₁y₃=-2pt，y₂y₄=-2pt，
∴y₃y₄=-4t²，
直线PQ的斜率为$\frac{{y}_{3}-{y}_{4}}{{x}_{3}-{x}_{4}}$=$\frac{2p}{{y}_{3}+{y}_{4}}$，
∴直线PQ的方程为y-y₃=$\frac{2p}{{y}_{3}+{y}_{4}}$（x-x₃）．
令y=0可得x=-$\frac{{y}_{3}{y}_{4}}{2p}$=$\frac{2{t}^{2}}{p}$，
∴|OF||OM|=|OT|²，
∴|OF|，|OT|，|OM|成等比数列．

点评 本题考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查等比数列的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．