Question

13．若动点M到定点A（0，1）与定直线l：y=3的距离之和为4．
（1）求点M的轨迹方程，并画出方程的曲线草图；
（2）记（1）得到的轨迹为曲线C，若曲线C上恰有三对不同的点关于点B（0，t）（t∈R）对称，求t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设M（x，y），由题意$\sqrt{{x}^{2}+（y-1）^{2}}$+|y-3|=4，分类讨论，可得点M的轨迹方程，并画出方程的曲线草图；
（2）若（x₀，y₀）∈C，则（-x₀，y₀）∈C，所以曲线C关于y轴对称，所以一定存在关于y轴对称的对称点，联立方程组，得到4y₀=-12（2t-y₀-4）化简得t=$\frac{{y}_{0}+6}{3}$，（0≤y₀≤3），即可求出t的值．

解答 解：（1）设M（x，y），由题意$\sqrt{{x}^{2}+（y-1）^{2}}$+|y-3|=4，
①：当y≤3时，有$\sqrt{{x}^{2}+（y-1）^{2}}$=y+1，化简得：x²=4y
②：当y＞3时，有$\sqrt{{x}^{2}+（y-1）^{2}}$=7-y，化简得：x²=-12（y-4）（二次函数）
综上所述：点M的轨迹方程为x²=$\left\{\begin{array}{l}{4y，y≤3}\\{-12（y-4），y＞3}\end{array}\right.$（如图1），
（2）若（x₀，y₀）∈C，则（-x₀，y₀）∈C，所以曲线C关于y轴对称，所以一定存在关于y轴对称的对称点，
下面研究P（x₀，y₀）是轨迹x²=4y（y≤3）上任意一点，则x₀²=4y₀，（y₀≤3），它关于B（0，t）的对称点为Q（-x₀，2t-y₀），由于点Q在轨迹x₂=-12（y-4）上，如图2．
所以（-x₀）²=-12（2t-y₀-4），联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}^{2}=4{y}_{0}^{\;}}\\{{x}_{0}^{2}=-12（2t-{y}_{0}-4）}\end{array}\right.$（*）得4y₀=-12（2t-y₀-4）化简得t=$\frac{{y}_{0}+6}{3}$，（0≤y₀≤3），
当y₀∈（0，3）时，t∈（2，3），此时方程组（*）有两解，即增加有两组对称点，
所以t的取值范围是（2，3）

点评 本题考查轨迹方程，考查点的对称性、一元二次方程根的判别式，考查学生分析解决问题的能力，难度大．