Question

5．数列{a_n}满足a₁=1，a₂=1，a_n+2=（1+sin²$\frac{nπ}{2}$）a_n+2cos²$\frac{nπ}{2}$，则该数列的前20项和为1123．

Answer 1

分析 分别取n为奇数和偶数可得奇数项是以a₁=1，公比为2的等比数列，偶数项是以a₂=1为首项，公差为2的等差数列．然后利用等差数列与等比数列前n项和求得答案．

解答 解：当n为奇数时，a_n+2=（1+sin²$\frac{nπ}{2}$）a_n+2cos²$\frac{nπ}{2}$=2a_n，
故奇数项是以a₁=1，公比为2的等比数列；
当n为偶数时，a_n+2=（1+sin²$\frac{nπ}{2}$）a_n+2cos²$\frac{nπ}{2}$=a_n+2，
故偶数项是以a₂=1为首项，公差为2的等差数列．
∴数列的前20项中奇数项和为${S}_{奇}=\frac{1-{2}^{10}}{1-2}={2}^{10}-1$=1023，
数列的前20项中偶数项和为${S}_{偶}=10×1+\frac{10×9}{2}×2=100$．
∴S₂₀=1023+100=1123．
故答案为：1123．

点评 本题考查数列递推式，考查了等差关系与等比关系的确定，训练了等差数列与等比数列前n项和的求法，是中档题．