Question

17．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的长轴长为4，其上顶点到直线3x+4y-1=0的距离等于$\frac{3}{5}$．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线l与椭圆C交于A，B两点，交x轴的负半轴于点E，交y轴于点F（点E，F都不在椭圆上），且$\overrightarrow{FA}$=λ₁$\overrightarrow{AE}$，$\overrightarrow{FB}$=λ₂$\overrightarrow{BE}$，λ₁+λ₂=-8，证明：直线l恒过定点，并求出该定点．

Answer 1

分析 （1）设椭圆的上顶点为（0，b），运用点到直线的距离公式，求得b=1，由题意可得a=2，进而得到椭圆方程；
（2）设A（x₁，y₁），E（m，0）（m＜0，m≠-2），F（0，n），运用向量共线的坐标表示，求得A，B的坐标，代入椭圆方程，化简整理，由二次方程的韦达定理．解得m，即可得到直线l恒过定点．

解答 解：（1）设椭圆的上顶点为（0，b），
由点到直线的距离公式可得，$\frac{|0+4b-1|}{\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}}$=$\frac{3}{5}$，解得b=1，
由2a=4，即a=2，
所以椭圆C的方程为$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$；
（2）证明：设A（x₁，y₁），E（m，0）（m＜0，m≠-2），F（0，n），
由 $\overrightarrow{FA}={λ_1}\overrightarrow{AE}$，得（x₁，y₁-n）=λ₁（m-x₁，-y₁），
即x₁=λ₁（m-x₁），y₁-n=-λ₁y₁，
可得$A（{\frac{{{λ_1}m}}{{1+{λ_1}}}，\frac{n}{{1+{λ_1}}}}）$，
同理由$\overrightarrow{FB}={λ_2}\overrightarrow{BE}$，得$B（{\frac{{{λ_2}m}}{{1+{λ_2}}}，\frac{n}{{1+{λ_2}}}}）$，
把$A（{\frac{{{λ_1}m}}{{1+{λ_1}}}，\frac{n}{{1+{λ_1}}}}）$，$B（{\frac{{{λ_2}m}}{{1+{λ_2}}}，\frac{n}{{1+{λ_2}}}}）$分别代入$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$得，
$\left\{\begin{array}{l}（{4-{m^2}}）λ_1^2+8{λ_1}+4-4{n^2}=0\\（{4-{m^2}}）λ_2^2+8{λ_2}+4-4{n^2}=0\end{array}\right.$，
即有λ₁，λ₂是关于x的方程（4-m²）x²+8x+4-4n²=0的两根，
可得λ₁+λ₂=-$\frac{8}{4-{m}^{2}}$=-8．解得m=-$\sqrt{3}$，
则直线l恒过定点（-$\sqrt{3}$，0）．

点评 本题考查椭圆方程的求法，注意运用点到直线的距离公式，考查直线恒过定点的求法，注意运用向量共线的坐标表示，以及点满足椭圆方程，考查化简整理的运算能力，属于中档题．