Question

2．如图在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=1，AB=$\sqrt{3}$，点F是PD中点，$\overrightarrow{CE}$=λ$\overrightarrow{CD}$（0＜λ＜1）．
（Ⅰ）当λ=$\frac{1}{2}$时，判断EF与平面PAC的位置关系，并加以证明；
（Ⅱ）证明：无论λ取何值，都有AF⊥FE；
（Ⅲ）试探究三棱锥B-AFE的体积是否为定值，若是求出该定值，若不是说明理由．

Answer 1

分析 （I）当$λ=\frac{1}{2}$时，E为CD的中点，利用中位线定理得出EF∥PC，故EF∥平面PAC；
（II）由PA⊥平面ABCD得CD⊥PA，由CD⊥AD得出CD⊥平面PAD，于是CD⊥AF，由等腰三角形得AF⊥PD，于是AF⊥平面PCD，从而AF⊥EF；
（III）过F作底面ABCD的高线PG，则PG=$\frac{1}{2}AD$为定值，而△ABE的面积也是定值，故而棱锥F-ABE的体积为定值，即棱锥B-AFE的体积是定值．

解答 解：（I）当$λ=\frac{1}{2}$时，EF∥平面PAC．
∵$\overrightarrow{CE}=\frac{1}{2}\overrightarrow{CD}$，∴E是CD的中点，又F是PD的中点，
∴EF∥PC，
又PC?平面PAC，EF?平面PAC，
∴EF∥平面PAC．
（II）∵PA⊥底面ABCD，CD?平面ABCD，
∴PA⊥CD，
又CD⊥AD，AD?平面PAD，PA?平面PAD，AD∩PA=A，
∴CD⊥平面PAD，∵AF?平面PAD，
∴CD⊥AF，
∵PA=AD，点F是PD中点，
∴AF⊥PD，
又CD?平面PCD，PD?平面PCD，PD∩CD=D，
∴AF⊥平面PCD．∵EF?平面PCD，
∴无论λ取何值，都有AF⊥EF．
（III）作FG∥PA交AD于G，则FG⊥平面ABCD，且FG=$\frac{1}{2}$PA=$\frac{1}{2}$．
∴V_B-AFE=V_F-ABE=$\frac{1}{3}{S}_{△ABE}•FG$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\sqrt{3}×1×\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{12}$．
∴三棱锥B-AFE的体积为定值，定值为$\frac{\sqrt{3}}{12}$．

点评 本题考查了线面平行，线面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．