Question

19．函数f（x）=|x|-2|x+3|．
（1）解不等式f（x）≥2；
（2）若存在x∈R使不等式f（x）-|3t-2|≥0成立，求参数t的取值范围．

Answer 1

分析 去掉绝对值符号，化简函数的解析式为分段函数，
（ I）不等式转化为$\left\{\begin{array}{l}x＜-3\\ x+6≥2\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}-3≤x≤0\\-3x-6≥2\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}x＞0\\-x-6≥2\end{array}\right.$，求出解集即可．
（Ⅱ）求出f（x）_max=3，转化不等式为f（x）_max-|3t-2|≥0，然后求解参数t的取值范围．

解答 解：$f（x）=\left\{\begin{array}{l}x+6，x＜-3\\-3x-6，-3≤x≤0\\-x-6，x＞0\end{array}\right.$，…（3分）
（ I）$\left\{\begin{array}{l}x＜-3\\ x+6≥2\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}-3≤x≤0\\-3x-6≥2\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}x＞0\\-x-6≥2\end{array}\right.$，
∴-4≤x＜-3或$-3≤x≤-\frac{8}{3}$或ϕ．
∴不等式f（x）≥2的解集为$\left\{{x\left|{-4≤x≤-\frac{8}{3}}\right.}\right\}$．…（6分）
（Ⅱ）∵f（x）_max=3∴只需f（x）_max-|3t-2|≥0，即3-|3t-2|≥0，
亦即|3t-2|≤3，解之得：$-\frac{1}{3}≤t≤\frac{5}{3}$，
∴参数t的取值范围$-\frac{1}{3}≤t≤\frac{5}{3}$．…（10分）

点评 本题考查函数恒成立，函数的最值的应用，绝对值不等式的解法，考查分类讨论思想以及转化思想的应用，考查计算能力．