Question

7．已知函数f（x）=e^x-1-x．
（1）若存在x∈[-1，ln$\frac{4}{3}$]，满足a-e^x+1+x＜0成立，求实数a的取值范围．
（2）当x≥0时，f（x）≥（t-1）x恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）不等式可整理为a＜e^x-1-x，只需求出右式在区间内的最大值即可；
（2）不等式整理为e^x-1-tx≥0恒成立，构造函数g（x）=e^x-1-tx，求出导函数g'（x）=e^x-t，对t分类，通过单调性得出t的范围．

解答 解：（1）a-e^x+1+x＜0，
∴a＜e^x-1-x，
∴a＜f（x），f'（x）=e^x-1=0，
∴x=0，
∴f（x）在（-∞，0）上递减，在（0，+∞）上递增，
x∈[-1，ln$\frac{4}{3}$]，故最大值应在端点处，
∵f（-1）=$\frac{1}{e}$，f（ln$\frac{4}{3}$）=$\frac{4}{3}$-1-ln$\frac{4}{3}$＜$\frac{1}{e}$，
∴a＜$\frac{1}{e}$．
（2）当x≥0时，f（x）≥（t-1）x恒成立，
∴e^x-1-x≥（t-1）x，
∴e^x-1-tx≥0恒成立，
令g（x）=e^x-1-tx，g'（x）=e^x-t，
若t≤1，则当x≥0时，g'（x）＞0，且g（0）=0，
∴当x≥0时，g（x）≥0恒成立，
∴f（x）≥（t-1）x恒成立，
若t＞1，则当x∈（0，lnt）时，g'（x）＜0，g（x）递减，g（0）=0，
∴当x∈（0，lnt）时，g（x）＜0．
故不复合题意，
故t的范围为t≤1．

点评 考查了对存在问题和恒成立问题的理解和通过导函数求出函数的单调性，得出函数的最值．