Question

18．已知函数f（x）=|x|，g（x）=-|x-4|+m．
（1）解关于x的不等式g[f（x）]+3-m＞0；
（2）若函数f（x）的图象恒在函数g（2x）图象的上方，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）问题转化为-3＜|x|-4＜3，解出即可；（2）由题意得f（x）＞g（2x）恒成立，即m＜|2x-4|+|x|恒成立，通过讨论x的范围求出m的范围即可．

解答 解：（1）由g[f（x）]+3-m＞0得||x|-4|＜3，
∴-3＜|x|-4＜3，
∴1＜|x|＜7，
故不等式的解集为（-7，-1）∪（1，7）；
（2）∵函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方
∴f（x）＞g（2x）恒成立，
即m＜|2x-4|+|x|恒成立，
∵|2x-4|+|x|=$\left\{\begin{array}{l}{3x-4，x≥2}\\{4-x，0＜x＜2}\\{4-3x，x≤0}\end{array}\right.$，
∴|2x-4|+|x|≥2，
∴m的取值范围为m＜2．

点评 本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，是一道中档题．