Question

设函数f(x)=

3

sinxcosx+cos2x+a．
（Ⅰ）写出函数的最小正周期及单调递减区间；
（Ⅱ）当x∈[-

π

6

，

π

3

]时，函数f（x）的最大值与最小值的和为

3

2

，求f（x）的解析式；
（Ⅲ）将满足（Ⅱ）的函数f（x）的图象向右平移

π

12

个单位，纵坐标不变横坐标变为原来的2倍，再向下平移

1

2

，得到函数g（x），求g（x）图象与x轴的正半轴、直线x=

π

2

所围成图形的面积．

Answer 1

分析：（I）利用和差角公式，可将函数的解析式化为正弦型函数的形式，根据ω可得函数的周期，将相位角代入正弦函数的单调递减区间，求出x的范围，可得函数f（x）的单调递减区间
（II）由x的范围，可求出相位角的范围，进而根据正弦函数的图象和性质，可求出函数的最值，进而得到a值，求出函数的解析式
（III）根据函数图象的平移变换法则，伸缩变换法则，求出g（x）的解析式，代入积分公式，可得g（x）图象与x轴的正半轴、直线x=

π

2

所围成图形的面积．

解答：解（Ⅰ）函数f(x)=

3

sinxcosx+cos2x+a=

3

2

sin2x+

1+cosx

2

+a=sin（2x+

π

6

）+a+

1

2

．
∵ω=2，
∴T=π
由

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

3π

2

+2kπ，得

π

6

+kπ≤x≤

2π

3

+kπ，（k∈Z），
故函数f（x）的单调递减区间是[

π

6

+kπ，

2π

3

+kπ]，（k∈Z）．
（II）∵x∈[-

π

6

，

π

3

]
∴2x+

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]
∴sin（2x+

π

6

）∈[-

1

2

，1]
∴当x∈[-

π

6

，

π

3

]时，原函数的最大值与最小值的和-

1

2

+a+

1

2

+1+a+

1

2

=

3

2

，
解得：a=0
∴f（x）=sin（2x+

π

6

）+

1

2

（3）将满足（Ⅱ）的函数f（x）sin（2x+

π

6

）+

1

2

的图象向右平移

π

12

个单位，纵坐标不变横坐标变为原来的2倍，再向下平移

1

2

，得到函数g（x）=sinx的图象
∵

∫

π 2 0

sinxdx=-cosx

|

π 2 0

=1，即g（x）图象与x轴的正半轴、直线x=

π

2

所围成图形的面积为1

点评：本题考查的知识点是三角函数的化简，三角函数的周期性，单调性，最值，及函数图象的变换，是三角函数问题的综合应用，难度中档．