Question

在平面直角坐标系中，已知A₁(一3，0)、A₂(3，0)、P(、y)、M(，0)，O为坐标原点，若实数使向量、和满足=?．

(1)求点P的轨迹方程，并判断P点的轨迹是怎样的曲线；

(2)当时，过点A₁且斜率为1的直线与此时(1)中的曲线相交的另一个交点为B，能否在直线=－9上找到一点C，恰使△A₁BC为正三角形?请说明理由．

Answer 1

解：(1)由已知可得

    ，且≥9

∴

即，

    ∴点P的轨迹方程是(1一)²+=9(1一)

当1－>0，即(一1，1)时，有=1，

此时≤l，∴²≤9，综合²≥9知，此时点P的轨迹为两点和

当，即，一1)(1，+∞)时，方程为，

此时点P的轨迹是双曲线；

    当=±1时，方程为，且²≥9，此时点P的轨迹为两条射线．

(2)过点A₁斜率为1的直线方程为，

当=时，曲线方程为，其轨迹就是两点A₁和A₂，

此时直线过A₁点但不过A₂点，

∴B点不存在，从而这样的三角形也不存在．