Question

6．已知角A、B、C是△ABC的三内角．
（1）若tanA，tanB，tanC均有意义，证明：tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC
（2）若tanA，tanB，tanC为连续的正整数，最大边c的长为100，求边长a和△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）由三角形的内角和以及两角和的正切公式变形可得tanA+tanB=-tanC（1-tanAtanB），整体代入可证；
（2）可设tanA=n-1，tanB=n，tanC=n+1，其中n为大于等于2的正整数，由（1）的结论解n值，再由同角三角函数基本关系可得sinA和sinB，sinC=$\frac{3}{\sqrt{10}}$，由正弦定理和△ABC的面积公式可得．

解答 解：（1）∵角A、B、C是△ABC的三内角，∴C=π-（A+B），
由两角和的正切公式可得tan（A+B）=$\frac{tanA+tanB}{1-tanAtanB}$，
∴tanA+tanB=tan（A+B）（1-tanAtanB）=-tanC（1-tanAtanB），
∴tanA+tanB+tanC=-tanC（1-tanAtanB）+tanC
=tanC（-1+tanAtanB+1）=tanAtanBtanC；
（2）∵tanA，tanB，tanC为连续的正整数，
故可设tanA=n-1，tanB=n，tanC=n+1，其中n为大于等于2的正整数，
由（1）可得（n-1）n（n+1）=n-1+n+n+1，解得n=2，
故tanA=1，tanB=2，tanC=3，∴sinA=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，sinB=$\frac{2}{\sqrt{5}}$，sinC=$\frac{3}{\sqrt{10}}$，
又∵最大边c的长为100，∴由正弦定理可得a=$\frac{csinA}{sinC}$=$\frac{100\sqrt{5}}{3}$，
∴△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{10000}{3}$

点评 本题考查两角和与差的正切公式，涉及正弦定理解三角形和同角三角函数基本关系，属中档题．