Question

【题目】如图，在四棱锥中，平面．底面是菱形，．

（Ⅰ）求证：直线平面；

（Ⅱ）求直线与平面所成角的正切值；

（Ⅲ）已知在线段上，且，求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（I）见解析；（II）；（III）

【解析】

（I）由菱形的性质，得AC⊥BD；由PA⊥平面ABCD证出PA⊥BD，结合AC、PA是平面PAC内的相交直线，可得BD⊥平面PAC；

（II）过B作BE⊥AD于点E，连结PE．由PA⊥平面ABCD得PA⊥BE，结合PA∩AD＝A证出BE⊥平面PAD，可得∠BPE就是直线PB与平面PAD所成角．Rt△BPE中，利用三角函数的定义算出tan∠BPE，即得结果；

（III）设F为CM的中点，连结BF、DF，由等腰△BMC与等腰△DMC有公共的底面，证出∠BFD为二面角B﹣MC﹣D的平面角．然后在△BFD中，利用余弦定理，算出cos∠BFD，即得结果．

（I）∵底面ABCD是菱形，∴AC⊥BD

∵PA⊥平面ABCD，BD平面ABCD，∴PA⊥BD

又∵AC、PA是平面PAC内的相交直线，

∴直线BD⊥平面PAC；

（II）过B作BE⊥AD于点E，连结PE

∵PA⊥平面ABCD，BE平面ABCD，∴PA⊥BE

∵BE⊥AD，PA∩AD＝A

∴BE⊥平面PAD，可得∠BPE就是直线PB与平面PAD所成角

∵Rt△BPE中，BE，PE

∴tan∠BPE，即PB与平面PAD所成角的正切值等于；

（III）设F为CM的中点，连结BF、DF

∵△BMC中，BM＝BC，∴BF⊥CM．同理可得DF⊥CM

∴∠BFD就是二面角B﹣MC﹣D的平面角

在△BFD中，BD＝2，BF＝DF，

∴由余弦定理，得cos∠BFD

由此可得二面角B﹣MC﹣D的余弦值等于．