Question

8．已知AD与BC是四面体ABCD中相互垂直的棱，若AD=BC=6，且∠ABD=∠ACD=60°，则四面体ABCD的体积的最大值是（　　）

• A． $18\sqrt{2}$
• B． $36\sqrt{2}$
• C． 18
• D． 36

Answer 1

分析 作CF⊥AD于F，连接CF，取BC中点E，推出四面体ABCD的体积的最大值，当△ABD是等腰三角形时几何体的体积最大，求解即可．

解答 解：过C作CF⊥AD，垂足为F，连接BF，
∵BC⊥AD，CF⊥AD，BC∩CF=C，
∴AD⊥平面BCF，
∴V_A-BCD=$\frac{1}{3}$S_△BCF•AD=2S_△BCF．
又∠ACD=∠ABD，AD⊥平面BCF，
∴△ACD≌△ABD，∴CF=BF，
取BC的中点E，则EF⊥BC，
∴2S_△ADE=2×$\frac{1}{2}$×BC×EF=6EF，
∴当EF最大时，棱锥的体积取得最大值．
又EF=$\sqrt{C{F}^{2}-C{E}^{2}}$=$\sqrt{C{F}^{2}-9}$，故当CF最大时，棱锥体积最大，
∵∠ACD=60°，AD=6，∴当AC=CD时，CF取得最大值，
此时CF=$\sqrt{27}$=3$\sqrt{3}$，∴EF=3$\sqrt{2}$
∴棱锥的体积最大值为6EF=18$\sqrt{2}$．
故选A．

点评 本题考查棱柱、棱锥、棱台的体积，考查空间想象能力，逻辑推理能力以及计算能力，属于中档题．