Question

在△ABC中，a，b，c为角A，B，C所对的边，且（b-2c）cosA=a-2acos²

B

2

．
（1）求角A的值；
（2）若BC边上的中线长为

3

，求b+c的最大值．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：三角函数的求值

分析：（1）已知等式右边变形后，利用二倍角的余弦函数公式化简，再利用正弦定理化简两边，整理求出cosA的值，即可确定出A的度数；
（2）延长AD到E，使ED=AD=

3

，连接EB，EC，可得出△CDE≌△BDA，在三角形ACE中，利用余弦定理列出关系式，并利用基本不等式变形求出bc的最大值，利用完全平方公式化简（b+c）²=b²+c²+2bc，确定出b+c的范围，即可求出最大值．

解答： 解：（1）已知等式变形得：（b-2c）cosA=a-2acos²

B

2

=-a（2cos²

B

2

-1）=-acosB，
利用正弦定理化简得：（sinB-2sinC）cosA=-sinAcosB，
去括号整理得：sinAcosB+cosAsinB=2sinCcosA，即sin（A+B）=sinC=2sinCcosA，
∵sinC≠0，∴cosA=

1

2

，
则A=

π

3

；
（2）延长AD到E，使ED=AD=

3

，连接EB，EC，可得出△CDE≌△BDA，
在三角形ACE中，∠ACE=

2π

3

，AE=2AD=2

3

，EC=AB=c，CA=b，
由余弦定理得：AE²=AC²+AB²-2AC•ABcosA=AC²+AB²-AC•AB=b²+c²-bc=2bc-bc≥bc，即bc≤AE²=12，
∴（b+c）²=b²+c²+2bc=AE²+3bc≤12+36=48，
∴2

3

＜b+c≤4

3

，
则b+c的最大值为4

3

．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及基本不等式的运用，熟练掌握定理是解本题的关键．