Question

已知f(x)=sinx+

3

cosx+2，x∈R
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）的最大值，并指出此时x的值．
（3）求函数f（x）的对称轴和对称中心．

Answer 1

分析：把函数解析式前两项提取2，利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，
（1）由化简后的解析式找出ω的值，代入周期公式T=

2π

|ω|

，即可求出函数的最小正周期；
（2）由正弦函数的值域[-1，1]，得到正弦函数的最大值为1，进而确定出函数的最大值；并让正弦函数中的角等于2kπ+

π

2

，求出x的值，即为函数取得最大值时x的值；
（3）根据正弦函数的对称轴为x=kπ+

π

2

，对称中心为（kπ，2），分别列出关于x的方程，求出方程的解即可得到函数f（x）的对称轴及对称中心．

解答：（本小题满分12分）
解：f(x)=sinx+

3

cosx+2=2sin(x+

π

3

)+2，
（1）∵ω=1，
∴函数f（x）的最小正周期是T=

2π

1

=2π；
（2）当sin（x+

π

3

）=1时，f（x）取得最大值，最大值为4，
此时x+

π

3

=

π

2

+2kπ，即x=2kπ+

π

6

（k∈Z）；
（3）令x+

π

3

=kπ+

π

2

，解得：x=kπ+

π

6

，
令x+

π

3

=kπ，解得：x=kπ-

π

3

，
则f（x）的对称轴为x=kπ+

π

6

（k∈Z），对称中心为(kπ-

π

3

，2)（k∈Z）．
评分说明：此处对称轴一定要写成x=kπ+

π

6

（k∈Z）的形式；
对称中心学生容易写成(kπ-

π

3

，0)，一律零分；
另外，k∈Z没写，一个扣（1分）．

点评：此题考查了三角函数的周期性及其求法，两角和与差的正弦函数公式，正弦函数的对称性，以及正弦函数的定义域和值域，其中利用三角形函数的恒等变形把函数解析式化为一个角的正弦函数是解本题的关键．