Question

【题目】已知椭圆的离心率为，点是椭圆上的点.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）已知斜率存在又不经过原点的直线与圆相切，且与椭圆交于两点.探究：在椭圆上是否存在点，使得，若存在，请求出实数的取值范围，若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）存在，

【解析】

（1）根据题意列方程组， 求解即可.

（2）假设在椭圆上存在点，使得.设直线，圆心到直线的距离等于半径1，可知，整理的，直线与椭圆联立得，，设，则，，根据，表示出点，代入椭圆得，求解即可.

（1）依题意，，故①.

将代入椭圆的方程中，可得②.

联立①②，解得

故椭圆的标准方程为.

（2）假设在椭圆上存在点，使得.

依题意，设直线，

因为直线与圆相切，

所以圆心到直线的距离等于半径，即

整理得.

当时，不合题意，舍去；

当且时，得，把代入椭圆

的方程得：.

易知，圆在椭圆内，所以直线与椭圆相交，设，

则，，

，

.

因为，故，

即的坐标为.

又因为在椭圆上，所以，

得.

把代入得；

因为，所以，，

即或，

综上所述实数的取值范围为.