Question

【题目】已知函数.（其中常数，是自然对数的底数）

（1）若，求函数的极值点个数；

（2）若函数在区间上不单调，证明：.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析.

【解析】

（1）求导后，分及讨论即可得出结论；

（2）结合题意分析可知，由及可证，进而得出结论．

解：（1）易知，

①若，则，函数在上单调递增，

函数无极值点，即此时极值点个数为0；

②若，易知函数的图象与的图象有唯一交点，，

，

当时，，函数在上单调递减，

当，时，，函数在，上单调递增，

函数有较小值点，即此时函数的极值点个数为1；

综上所述，当时，函数的极值点个数为0；

当时，函数的极值点个数为1；

（2）证明：函数在区间上不单调，

存在为函数的极值点，

由（1）可知，，且，即，

两边取自然对数得，即，

要证，不妨考虑证，

又易知，

，即，

又，

，

，即，

，

．