Question

【题目】定义：若函数的导函数是奇函数，则称函数是“双奇函数”．函数．

（1）若函数是“双奇函数”，求实数的值；

（2）若时，讨论函数的极值点．

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析.

【解析】

（1）先求出导函数，再利用“双奇函数”的定义即可求出的值；

（2）若时，对分情况讨论，利用导数研究函数的单调性和极值．从而分析出函数的极值点．

（1），，

又函数是“双奇函数”，

对任意且成立，

，

；

（2），且，

即

①当时，，

令得，，（舍去），

若，即，则，所以在上单调递增，所以在区间上不存在极值点，

若，即，

当时，；当，时，，

所以在上单调递减，在，上单调递增，所以函数在区间上存在一个极值点，

②当时，，

令，得，记△，

若△，即时，，所以在上单调递减，函数在区间上不存在极值点，

若△，即时，则由得，，，，

所以当时，；当，时，；当，时，，

所以在区间上单调递减，在区间，上单调递增，在区间，上单调递减，

所以当时，函数存在两个极值点，

综上所求，当时，函数的极小值点，极大值点，

当时，函数无极值点，

当时，函数的极小值点，无极大值点．