Question

【题目】已知，（且），函数.

（1）求函数的单调区间；

（2）若函数的图像在点处的切线的斜率为1，问：在什么范围取值时，对于任意的，函数在区间上总存在极值？

Answer 1

【答案】（1）答案不唯一，见解析 （2）

【解析】

（1）利用平面向量数量积的坐标表示公式求出函数的解析式，再对函数求导，根据导函数的正负性分类讨论求出函数的单调区间；

（2）根据函数的图像在点处的切线的斜率为1，利用导数可以求出的值，对进行求导，由函数在区间上总存在极值，

问题可以转化为有两个不等实根且至少有一个在区间内，根据二次方程根的分布进行求解即可.

解：（1）由题意知定义域为，则

∴当时，函数的单调增区间是，单调减区间是；

当时，函数的单调增区间是，单调减区间是.

（2）由得,，

∵函数在区间上总存在极值，

有两个不等实根且至少有一个在区间内

又∵函数是开口向上的二次函数，且，

由得，在上单调递减，

所以；，由，解得；

综上得：所以当在内取值时，对于任意，函数，在区间上总存在极值.