Question

【题目】定义函数f（x）＝（1﹣x2）（x2+bx+c）．

（1）如果f（x）的图象关于x＝2对称，求2b+c的值；

（2）若x∈[﹣1，1]，记|f（x）|的最大值为M（b，c），当b、c变化时，求M（b，c）的最小值．

Answer 1

【答案】（1）-1（2）．

【解析】

(1)由的图象关于直线对称,则将的图象向左移动个单位,得到函数为偶函数,化简,由偶函数性质即可得出结论.

(2) 由任意记的最大值为

取,得，

化简可得,只需要,即可求出的最小值.

．

（1）f（x）的图象关于直线x＝2对称，则将f（x）的图象向左移动2个单位，得到函数，

g（x）＝f（x+2）＝[1﹣（x+2）2][（x+2）2+b（x+2）+c]＝﹣x4﹣（8+b）x3﹣（19+4b）x2﹣（28+11b+4c）x﹣（12+6b+3c）为偶函数，

∴解得，

∴2b+c＝﹣1；

（2）对任意的x∈[﹣1，1]，|f（x）|≤M（b，c），

取x＝±λ得，

同理取x＝0得，|c|≤M（b，c），

由上述三式得：2|（1﹣λ2）（λ2+c）|≤2M（b，c），

∴|（1﹣λ2）（λ2+c）|≤M（b，c），

∴|（1﹣λ2）λ2|≤|（1﹣λ2）（λ2+c）|+|（1﹣λ2）|c||≤（2﹣λ2）M（b，c），

因此，M（b，c）（当且仅当λ2＝2时，取得最大值），此时b＝0，c，

经验证，满足题意．

故当b＝0，c时，M（b，c）取得最小值，且最小值为．