Question

已知函数f(x)=ln(x+1)-

ax

x+2

，它在原点处的切线恰为x轴．
（1）求f（x）的解析式；
（2）证明：当x＞0时，f（x）＞0；
（3）证明：ln2•ln3…lnn＞

2 n

(n+1 ) 2

(n∈N，n≥2)．

Answer 1

分析：（1）先根据题意求出函数的导数f′（x），再利用导数的几何意义得f′（0）=0，从而求出a值，最后写出f（x）的解析式；
（2）当x≥0时，f′（x）=

x2

(x+1)(x+2)2

≥0，利用导数与单调性的关系得f（x）在[0，+∞）上是增函数，且f（0）=0，即可证得结论；
（3）由（2）知，当x＞0时，ln（1+x）＞

2x

x+2

，分别令x=1，2，3，…，n．得到n个不等关系，再将以上各式相乘即得．

解答：解：（1）由题意f(x)=ln(x+1)-

ax

x+2

得，
f′（x）=

1

x+1

-

2a

(x+2)2

，
由于函数f(x)=ln(x+1)-

ax

x+2

在原点处的切线恰为x轴．
∴f′（0）=0，即1-

2a

4

=0，
∴a=2．
∴f（x）的解析式f（x）=ln（1+x）-

2x

x+2

，
（2）当x≥0时，f′（x）=

x2

(x+1)(x+2)2

≥0，
∴f（x）在[0，+∞）上是增函数，且f（0）=0，
∴当x＞0时，f（x）＞f（0）=0，
即当x＞0时，f（x）＞0．
（3）由（2）知，当x＞0时，ln（1+x）＞

2x

x+2

，
∴ln2＞

2

3

，ln3＞

4

4

，ln4＞

2×3

5

，…，lnn＞

2×(n-1)

n+1

，（n≥2），
以上各式相乘，得ln2•ln3…lnn＞

2n

n(n+1)

＞

2 n

(n+1) 2

(n∈N，n≥2)，
从而结论成立．

点评：本小题主要考查导数的几何意义、函数单调性的应用、不等式的证明等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于中档题．