Question

设b为常数，f（x）=|x²-1|+x²+bx（x∈R）
（1）当b=2时，求方程f（x）=0的解；
（2）若关于x的方程f（x）=0在（0，2）上有两个解x₁，x₂，证明：

1

x1

+

1

x2

＜4．

Answer 1

分析：（1）b=2时，方程f（x）=0即：|x²-1|+x²+2x=0，分类讨论：当x²-1≥0时，x²-1+x²+2x=0，当x²-1＜0时，-x²+1+x²+2x=0，分别解出方程的根，从而得出方程f（x）=0的解；
（2）若关于x的方程f（x）=0在（0，2）上有两个解x₁，x₂，不妨设x₁＜x₂，如图，结合图形得到b的取值范围，将

1

x1

+

1

x2

表示成b的函数，再利用函数的单调性即可证得．

解答：解：（1）b=2时，方程f（x）=0即：
|x²-1|+x²+2x=0，
当x²-1≥0时，x²-1+x²+2x=0，解得：x=

-1- 3

2

；
当x²-1＜0时，-x²+1+x²+2x=0，解得：x=-

1

2

；
∴方程f（x）=0的解为：x=

-1- 3

2

；或x=-

1

2

；
（2）若关于x的方程f（x）=0在（0，2）上有两个解x₁，x₂，
不妨设x₁＜x₂，如图，
类似于（1）得：x₁=-

1

b

，x₂=

-b+ b 2+8

4

，
且-

7

2

＜b＜-1．
则

1

x1

+

1

x2

=-b+

4

-b+ b 2+8

=-b+

b+ b 2+8

2

=

-b+ b 2+8

2

，
它在区间（-

7

2

，-1）上是减函数，
∴

-b+ b 2+8

2

＜

7 2 + (- 7 2 )2+8

2

=4，
∴

1

x1

+

1

x2

＜4．

点评：本小题主要考查函数单调性的应用、根与系数的关系、带绝对值的函数等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于中档题．