Question

已知定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）的偶函数g（x）在（-∞，0）内为单调递减函数，且g（x•y）=g（x）+g（y）对任意的x，y都成立，g（2）=1．
（1）证明g（x）在（0，+∞）内为单调递增函数
（2）求g（4）的值；
（3）求满足条件g（x）＞g（x+1）+2的x的取值范围．

Answer 1

（1）设0＜x₁＜x₂，则0＞-x₁＞-x₂，
∵g（x）在（-∞，0）为单调递减函数，∴g（-x₁）＞g（-x₂），
∵g（x）为偶函数，∴-g（x₁）＞-g（x₂），即g（x₁）＜g（x₂），
∴g（x）在（0，+∞）为单调递增函数．
（2）令x=y=2代入g（x•y）=g（x）+g（y）得，
g（4）=g（2×2）=g（2）+g（2）=2，
（3）∵g（x）＞2+g（x+1）=g（4）+g（x+1）=g[4（x+1）]
∵g（x）为偶函数，∴g（|x|）＞g[|4（x+1）|]
由（1）得，g（x）在（0，+∞）为单调递增函数，
∴

x≠0 x+1≠0 |x|＞|4(x+1)|

解得-

4

3

＜x＜-1或-1＜x＜-

4

5

，
综上x的取值范围为(-

4

3

，-1)∪(-1，

4

5

)．