Question

（本题满分15分）
在平面内，已知椭圆的两个焦点为，椭圆的离心率为 ，点是椭圆上任意一点， 且，
（1）求椭圆的标准方程；
（2）以椭圆的上顶点为直角顶点作椭圆的内接等腰直角三角形，这样的等腰直角三角形是否存在？若存在请说明有几个、并求出直角边所在直线方程？若不存在，请说明理由．

Answer 1

(1)  (2)

试题分析：解：（1）由题意得， 
方程为：                                  ---------------------5分
（2）设的直线方程为设，（不妨设）
由得，    ----------------------7分
 


由得，即，即或
所以，存在3个等腰直角三角形。
直角边所在直线方程为        ………15分
注：求出的给2分
点评：解决该试题的关键是熟练运用椭圆的性质得到a,b,c的关系，进而得到其方程，同时联立方程组，结合韦达定理来求解探索性问题，属于中档题。