Question

16．已知A、B是圆O：x²+y²=16的两个动点，|$\overrightarrow{AB}$|=4，$\overrightarrow{OC}$=$\frac{5}{3}$$\overrightarrow{OA}$-$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{OB}$．若M是线段AB的中点，则$\overrightarrow{OC}$•$\overrightarrow{OM}$的值为（　　）

• A． 8+4$\sqrt{3}$
• B． 8-4$\sqrt{3}$
• C． 12
• D． 4

Answer 1

分析 M是线段AB的中点⇒$\overrightarrow{OM}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{OA}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{OB}$，从而$\overrightarrow{OC}$•$\overrightarrow{OM}$=（$\frac{5}{3}$$\overrightarrow{OA}$-$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{OB}$）•（$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{OA}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{OB}$）=$\frac{5}{6}$$\overrightarrow{OA}$²-$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{OB}$²+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$，再结合题意，可知＜$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$＞=60°，|$\overrightarrow{OA}$|=|$\overrightarrow{OB}$|=4，故$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=8，$\overrightarrow{OC}$•$\overrightarrow{OM}$=12．

解答 解：因为M是线段AB的中点，所以$\overrightarrow{OM}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{OA}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{OB}$，
从而$\overrightarrow{OC}$•$\overrightarrow{OM}$=（$\frac{5}{3}$$\overrightarrow{OA}$-$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{OB}$）•（$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{OA}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{OB}$）=$\frac{5}{6}$$\overrightarrow{OA}$²-$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{OB}$²+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$，
由圆的方程可知圆O的半径为4，
即|$\overrightarrow{OA}$|=|$\overrightarrow{OB}$|=4，
又因为|$\overrightarrow{AB}$|=4，
所以＜$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$＞=60°，
故$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=8，
所以$\overrightarrow{OC}$•$\overrightarrow{OM}$=$\frac{5}{6}$×16-$\frac{1}{3}$×16+$\frac{1}{2}$×8=12．
故选：C．

点评 本题考查平面向量数量积及其运算性质的应用，考查向量加法及运算求解能力，属于中档题．