Question

请您设计一个帐篷.它下部的形状是高为1 m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3 m的正六棱锥（如下图所示）.试问当帐篷的顶点O到底面中心O₁的距离为多少时，帐篷的体积最大？

Answer 1

思路分析：本小题主要考查利用导数研究函数的最大值和最小值的基础知识，以及运用数学知识解决实际问题的能力.求函数最值的基本方法,如：二次函数法、均值不等式法、求导法等，是近年高考的热点.

解：设OO₁为x m,则由题设可得正六棱锥底面边长为

( 单位：m),

于是底面正六边形的面积为（单位：m²）:

S=6××()²·sin60°=6××（）²=(8+2x-x²).

帐篷的体积为（单位：m³）:V(x)=(8+2x-x²)［(x-1)+1］=(16+12x-x³).

求导数，得V′(x)=(12-3x²).

令V′(x)=0,解得x=-2(不合题意，舍去),或x=2.

当1＜x＜2时，V′(x)＞0,V(x))为增函数；当2＜x＜4时，V′(x)＜0,V(x)为减函数.

所以当x=2时,V(x)最大.

答:当OO₁为2 m时，帐篷的体积最大.