Question

11．已知O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+λ（${\frac{{\overrightarrow{AB}}}{{|{\overrightarrow{AB}}|cosB}}$+$\frac{{\overrightarrow{AC}}}{{|{\overrightarrow{AC}}|cosC}}}$），λ∈（0，+∞），则动点P的轨迹一定通过△ABC的（　　）

• A． 重心
• B． 垂心
• C． 外心
• D． 内心

Answer 1

分析 可先根据数量积为零得出 $\overrightarrow{BC}$与λ（${\frac{{\overrightarrow{AB}}}{{|{\overrightarrow{AB}}|cosB}}$+$\frac{{\overrightarrow{AC}}}{{|{\overrightarrow{AC}}|cosC}}}$），垂直，可得点P在BC的高线上，从而得到结论．

解答 解：由$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+λ（${\frac{{\overrightarrow{AB}}}{{|{\overrightarrow{AB}}|cosB}}$+$\frac{{\overrightarrow{AC}}}{{|{\overrightarrow{AC}}|cosC}}}$）⇒$\overrightarrow{OP}$-$\overrightarrow{OA}$=λ（${\frac{{\overrightarrow{AB}}}{{|{\overrightarrow{AB}}|cosB}}$+$\frac{{\overrightarrow{AC}}}{{|{\overrightarrow{AC}}|cosC}}}$）⇒，$\overrightarrow{AP}$=λ（${\frac{{\overrightarrow{AB}}}{{|{\overrightarrow{AB}}|cosB}}$+$\frac{{\overrightarrow{AC}}}{{|{\overrightarrow{AC}}|cosC}}}$），
又∵$\overrightarrow{BC}•$$\overrightarrow{AP}$=λ（${\frac{{\overrightarrow{AB}}}{{|{\overrightarrow{AB}}|cosB}}$+$\frac{{\overrightarrow{AC}}}{{|{\overrightarrow{AC}}|cosC}}}$）$•\overrightarrow{BC}$=-|$\overrightarrow{BC}$|+|$\overrightarrow{BC}$|=0，∴$\overrightarrow{AP}⊥\overrightarrow{BC}$
∴点P在BC的高线上，即P的轨迹过△ABC的垂心
故选B．

点评 本题主要考查了向量在几何中的应用、空间向量的加减法、轨迹方程、以及三角形的五心等知识，属于中档题．