Question

16．椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左右焦分别为F₁，F₂，离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，过点F₁且垂直于x轴的直线被椭圆截得的弦长为2，直线l：y=kx+m与椭圆交于不同的A、B两点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若在椭圆C上存在点Q满足：$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$=λ$\overrightarrow{OQ}$（O为坐标原点），求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{2{b}^{2}}{a}$=2，又a²=b²+c²，联立解得即可．
（II）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），Q（x₀，y₀），分类讨论：当λ=0时，利用椭圆的对称性即可得出；λ≠0时，设直线AB的方程为y=kx+m．与椭圆的方程联立得到△＞0及根与系数的关系，再利用向量相等，代入计算即可得出．

解答 解：（Ⅰ）由已知得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{2{b}^{2}}{a}$=2，又a²=b²+c²，联立解得a=2，b=$\sqrt{2}$．
故所求椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1．
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），Q（x₀，y₀）
当λ=0时由$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$=λ$\overrightarrow{OQ}$知，$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$=0，A与B关于原点对称，存在Q满足题意，∴λ=0成立．
当λ≠0时，设直线AB的方程为y=kx+m．
联立椭圆得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-4=0，
由△=（4km）²-4（1+2k²）（2m²-4）＞0解得m²＜1+4k²…（*）
∴x₁+x₂=-$\frac{4km}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{2{m}^{2}-4}{1+2{k}^{2}}$，y₁+y₂=$\frac{2m}{1+2{k}^{2}}$．
由$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$=λ$\overrightarrow{OQ}$，得（x₁+x₂，y₁+y₂）=（λx₀，λy₀），可得x₁+x₂=λx₀，y₁+y₂=λy₀，
∴x₀=$\frac{1}{λ}$•（-$\frac{4km}{1+2{k}^{2}}$），y₀=$\frac{1}{λ}$•$\frac{2m}{1+2{k}^{2}}$，
代入到$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1得到m²=$\frac{{λ}^{2}}{4}$（1+4k²），
代入（*）式，由1+4k²＞0得λ²＜4，解得-2＜λ＜2且λ≠0．
∴综上λ∈（-2，2）．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到△＞0及根与系数的关系、向量相等等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．