Question

5．已知递增等差数列{a_n}满足a₁•a₄=7，a₂+a₃=8．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=$\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$，数列{b_n}的前n项和为S_n，求证：S_n$＜\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （1）由题意可得公差d＞0，由等差数列的性质解得a₁=1，a₄=7，可得公差d=2，进而得到所求通项公式；
（2）求出b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{•a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），运用数列的求和方法：裂项相消求和，化简整理，结合不等式的性质即可得证．

解答 解：（1）递增等差数列{a_n}，可得公差d＞0，
满足a₁•a₄=7，a₂+a₃=8，
即有a₁+a₄=8，
解得a₁=1，a₄=7，（a₁=7，a₄=1舍去），
可得公差d=$\frac{{a}_{4}-{a}_{1}}{4-1}$=$\frac{7-1}{3}$=2，
则数列{a_n}的通项公式为a_n=a₁+（n-1）d=1+2（n-1）=2n-1；
（2）证明：b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{•a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
即有前n项和S_n=b₁+b₂+…+b_n=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$）＜$\frac{1}{2}$，
即为S_n$＜\frac{1}{2}$．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，注意运用等差数列的性质，考查方程思想，同时考查数列的求和方法：裂项相消求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题．