Question

10．在R上定义运算?：x?y=x（1-y），若存在x₁，x₂（x₁≠x₂）使得1?（2k-3-kx）=1+$\sqrt{4-{x^2}}$成立，则实数k的取值范围为（　　）

• A． $（\frac{5}{12}，+∞）$
• B． $（\frac{5}{12}，\frac{3}{4}]$
• C． $（0，\frac{5}{12}）$
• D． $（\frac{1}{3}，\frac{3}{4}]$

Answer 1

分析 根据运算?：x?y=x（1-y），把存在x₁，x₂（x₁≠x₂）使得1-2k+3+kx=1+$\sqrt{4-{x^2}}$成立，转化为y=k（x-2）+3与y=$\sqrt{4-{x^2}}$有两个不同的交点，即可求得结果．

解答 解：∵x?y=x（1-y），
若存在x₁，x₂（x₁≠x₂）使得1?（2k-3-kx）=1+$\sqrt{4-{x^2}}$成立，
则1-2k+3+kx=1+$\sqrt{4-{x^2}}$，
即存在x₁，x₂（x₁≠x₂）使得k（x-2）+3=$\sqrt{4-{x^2}}$成立
∴y=k（x-2）+3与y=$\sqrt{4-{x^2}}$有两个不同的交点，
y=k（x-2）+3与y=$\sqrt{4-{x^2}}$相切时，可得k=$\frac{5}{12}$，过（-2，0）时，可得k=$\frac{3}{4}$
∴实数k的取值范围为$\frac{5}{12}$＜k≤$\frac{3}{4}$．
故选B．

点评 本题的难点在于能否对于给定的定义理解透彻，也是此题新意，能有效考查学生灵活应用知识分析、解决问题的能力．这个的立意很好，属中档题．