Question

20．已知函数y=|x|•（x-4），试完成以下问题：
（Ⅰ）在如图所示平面直角坐标系中画出该函数的图象；
（Ⅱ）利用图象直接回答：当方程|x|（x-4）=k分别有一解、两解、三解时，k的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）要根据绝对值的定义，分当x＜0时和当x≥0时两种情况，化简函数的解析式，将函数y=|x|（x-4）写出分段函数的形式，结合二次函数的图象和性质，分段画图
（Ⅱ）根据（1）中函数的图象，结合函数的极大值为0，极小值为-4，可得方程|x|•（x-4）=k有一解，有两解和有三解时，k的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）当x＜0时，y=|x|（x-4）=-x（x-4）
当x≥0时，y=|x|（x-4）=x（x-4）
综上y=$\left\{\begin{array}{l}{-x（x-4），（x＜0）}\\{x（x-4），（x≥0）}\end{array}\right.$
其函数图象如图所示：
（Ⅱ）由（1）中函数的图象可得：
当k＜-4或k＞0时，方程|x|•（x-4）=k有一解
当k=-4或k=0时，方程|x|•（x-4）=k有两解
当-4＜k＜0时，方程|x|•（x-4）=k有三解

点评 本题考查的知识点是分段函数的解析式及其图象的作法，函数的零点，属于中档题．