Question

9．设复平面上点Z₁，Z₂，…，Z_n，…分别对应复数z₁，z₂，…，z_n，…；
（1）设z=r（cosα+isinα），（r＞0，α∈R），用数学归纳法证明：zⁿ=rⁿ（cosnα+isinnα），n∈Z⁺
（2）已知${z_1}={（\frac{1+i}{1-i}）^{20}}$，且$\frac{{{z_{n+1}}}}{z_n}=\frac{1}{2}$（cosα+isinα）（α为实常数），求出数列{z_n}的通项公式；
（3）在（2）的条件下，求$L=|{\overrightarrow{{Z_1}{Z_2}}}|+|{\overrightarrow{{Z_2}{Z_3}}}|+…+|{\overrightarrow{{Z_n}{Z_{n+1}}}}$|+…．

Answer 1

分析 （1）按照数学归纳法的基本步骤即可证明等式成立；
（2）${z_1}={（\frac{1+i}{1-i}）^{20}}$=${（\frac{2i}{-2i}）}^{10}$=1，且$\frac{{{z_{n+1}}}}{z_n}=\frac{1}{2}$（cosα+isinα）（α为实常数），可得数列{z_n}是首项为Z₁=1，公比为q=$\frac{1}{2}$（cosα+isinα）的等比数列，利用等比数列的通项公式即可得出．
（3）在（2）的条件下，$\overrightarrow{{Z}_{n}{Z}_{n+1}}$=$（\frac{1}{2}）^{n}$[cosnα-2cos（n-1）α+i（sinnα-2sin（n-1）α）]，再利用数列极限求和公式即可得出．

解答 解：（1）证明：当n=1时，左边=r（cosθ+isinθ），右边=r（cosθ+isinθ），
左边=右边，即n=1等式成立；
假设当n=k时等式成立，即：[r（cosθ+isinθ）]^k=r^k（coskθ+isinkθ），
则当n=k+1时，[r（cosθ+isinθ）]^k+1=[r（cosθ+isinθ）]^kr（cosθ+isinθ）
=r^k（coskθ+isinkθ）r^k（cosθ+isinθ）
=r^k+1[（coskθcosθ-sinkθsinθ）+i（sinkθcosθ+coskθsinθ）]
=r^k+1[cos（k+1）θ+isin（k+1）θ]，
即当n=k+1时，等式成立；
综上，对n∈N⁺，zⁿ=rⁿ（cosnα+isinnα）；
（2）${z_1}={（\frac{1+i}{1-i}）^{20}}$=${（\frac{2i}{-2i}）}^{10}$=1，
且$\frac{{{z_{n+1}}}}{z_n}=\frac{1}{2}$（cosα+isinα）（α为实常数），
∴数列{z_n}是首项为Z₁=1，公比为q=$\frac{1}{2}$（cosα+isinα）的等比数列，
∴该数列的通项公式为Z_n=Z₁•q^n-1=${（\frac{1}{2}）}^{n-1}$•[cos（n-1）α+isin（n-1）α]；
（3）在（2）的条件下，$\overrightarrow{{{Z}_{1}Z}_{2}}$=$\overrightarrow{{OZ}_{2}}$-$\overrightarrow{{OZ}_{1}}$=（$\frac{1}{2}$cosα-1，$\frac{1}{2}$sinα）
∴|$\overrightarrow{{{Z}_{1}Z}_{2}}$|=$\frac{1}{2}\sqrt{5-4cosα}$．
$\overrightarrow{{Z}_{n}{Z}_{n+1}}$=$（\frac{1}{2}）^{n}$[cosnα-2cos（n-1）α+i（sinnα-2sin（n-1）α）]，
$|\overrightarrow{{Z}_{n}{Z}_{n+1}}|$=$（\frac{1}{2}）^{n}$$\sqrt{[cosnα-2cos（n-1）α]^{2}+[sinnα-2sin（n-1）α]^{2}}$=$（\frac{1}{2}）^{n}$$\sqrt{5-4cosα}$．
$L=|{\overrightarrow{{Z_1}{Z_2}}}|+|{\overrightarrow{{Z_2}{Z_3}}}|+…+|{\overrightarrow{{Z_n}{Z_{n+1}}}}$|+…=$\sqrt{5-4cosα}$×$\frac{\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}}$=$\sqrt{5-4cosα}$．

点评 本题考查了复数的运算法则、几何意义、数学归纳法的基本步骤、等比数列的通项公式、数列极限求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．