Question

8．已知f（x）是定义在R上的偶函数，并且有$f（x+2）=\frac{1}{f（x）}$，当2≤x≤3时，f（x）=x，则f（105.5）=2.5．

Answer 1

分析 由$f（x+2）=\frac{1}{f（x）}$，求出函数的周期是4，再结合偶函数的性质，把f（105.5）转化为f（2.5），代入所给的解析式进行求解．

解答 解：∵$f（x+2）=\frac{1}{f（x）}$，∴f（x+4）=f（x），则函数是周期为4的周期函数，
∴f（105.5）=f（4×26+1.5）=f（1.5），又f（1.5）=f（1.5-4）=f（-2.5），
∵f（x）是定义在R上的偶函数，∴f（-2.5）=f（2.5），
∵当2≤x≤3时，f（x）=x，∴f（2.5）=2.5，
则f（105.5）=f（2.5）=2.5，
故答案为：2.5．

点评 本题考查了函数周期性和奇偶性的应用，即根据周期函数的性质和奇偶性对应的关系式，将所求的函数值进行转化，转化到已知范围内求解，考查了转化思想．