Question

17．若满足条件a=4，A=30°的△ABC有且只有两个，则边c所有可能的值域构成的集合是（4，8）（用区间表示）．

Answer 1

分析 根据题意，由正弦定理可得$\frac{c}{sinC}$=$\frac{a}{sinA}$=$\frac{4}{\frac{1}{2}}$=8，变形可得c=8sinC，结合题意，符合题意的△ABC有且只有两个，可得sinC的范围，即可得c的取值范围，即可得答案．

解答 解：根据题意，在△ABC中，a=4，A=30°，则有$\frac{c}{sinC}$=$\frac{a}{sinA}$=$\frac{4}{\frac{1}{2}}$=8，
则c=8sinC，
若符合题意的△ABC有且只有两个，
则有$\frac{1}{2}$＜sinC＜1，
故有4＜c＜8，即c的取值范围为（4，8）；
故答案为：（4，8）．

点评 此题考查正弦定理的应用，涉及正弦函数的图象与性质，牢记特殊角的三角函数值以及灵活运用三角形的内角和定理这个隐含条件．