Question

6．已知$0＜α＜\frac{π}{2}$，$-\frac{π}{2}＜β＜0$，$cos（{α-β}）=\frac{3}{5}$，且$tanα=\frac{3}{4}$，求$tan（{β+\frac{π}{4}}）$的值？

Answer 1

分析 根据α、β的取值范围计算tan（α-β）的值，再求出tanβ的值，即可求出$tan（{β+\frac{π}{4}}）$的值．

解答 解：$0＜α＜\frac{π}{2}$，$-\frac{π}{2}＜β＜0$，
∴0＜-β＜$\frac{π}{2}$，
∴0＜α-β＜π；
又$cos（{α-β}）=\frac{3}{5}$，
∴sin（α-β）=$\frac{4}{5}$；
∴tan（α-β）=$\frac{sin（α-β）}{cos（α-β）}$=$\frac{4}{3}$；
又$tanα=\frac{3}{4}$，
∴tanβ=tan[α-（α-β）]=$\frac{tanα-tan（α-β）}{1+tanαtan（α-β）}$=$\frac{\frac{3}{4}-\frac{4}{3}}{1+\frac{3}{4}×\frac{4}{3}}$=-$\frac{7}{24}$，
∴$tan（{β+\frac{π}{4}}）$=$\frac{tanβ+tan\frac{π}{4}}{1-tanβtan\frac{π}{4}}$=$\frac{-\frac{7}{24}+1}{1-（-\frac{7}{24}）×1}$=$\frac{17}{31}$．

点评 本题考查了三角函数值的计算问题，也考查了三角恒等变换问题，是基础题．