Question

18．将函数y=sin（x+α）+sin（x+β）化为y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的形式后，振幅为1，则α-β=2kπ±$\frac{2π}{3}$，k∈Z．

Answer 1

分析 化函数y为y=Asin（ωx+φ）后，振幅为1，
得出（cosα+cosβ）²+（sinα+sinβ）²=1，求出cos（α-β）=-$\frac{1}{2}$，得α-β的值．

解答 解：函数y=sin（x+α）+sin（x+β）
=（sinxcosα+cosxsinα）+（sinxcosβ+cosxsinβ）
=sinx（cosα+cosβ）+cosx（sinα+sinβ），
化为y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）后，振幅为1，
∴（cosα+cosβ）²+（sinα+sinβ）²
=cos²α+2cosαcosβ+cos²β+sin²α+2sinαsinβ+sin²β
=2+2cos（α-β）=1，
∴cos（α-β）=-$\frac{1}{2}$，
α-β=2kπ±$\frac{2π}{3}$，k∈Z．
故答案为：2kπ±$\frac{2π}{3}$，k∈Z．

点评 本题考查了两角和与差的正弦函数应用问题，是基础题．