Question

9．已知P（x，y）（其中x≠0）为双曲线$\frac{{y}^{2}}{4}$-x²=1上任一点，过P点向双曲线的两条渐近线分别作垂线，垂足分别为A、B，则△PAB的面积为（　　）

• A． $\frac{2}{5}$
• B． $\frac{4}{5}$
• C． $\frac{8}{25}$
• D． 与点P的位置有关

Answer 1

分析 由题意，O，P，A，B四点共圆，∠APB=∠AOB，tan$\frac{1}{2}∠AOB$=2，sin∠AOB=$\frac{4}{5}$，求出|PA||PB|，即可得出结论．

解答 解：由题意，O，P，A，B四点共圆，∠APB=∠AOB，tan$\frac{1}{2}∠AOB$=2，sin∠AOB=$\frac{4}{5}$，
设P（x，y），双曲线的渐近线方程为y=±2x，则|PA||PB|=$\frac{|2x+y|}{\sqrt{5}}•\frac{|2x-y|}{\sqrt{5}}$=$\frac{4}{5}$，
∴△PAB的面积为$\frac{1}{2}•$$\frac{4}{5}$•$\frac{4}{5}$=$\frac{8}{25}$．
故选C．

点评 本题考查双曲线的性质，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．