Question

14．已知不等式|2x-3|＜x与不等式x²-mx+n＜0的解集相同．
（Ⅰ）求m-n；
（Ⅱ）若a、b、c∈（0，1），且ab+bc+ac=m-n，求a+b+c的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）讨论2x-3≥0或2x-3＜0，求出不等式|2x-3|＜x的解集，得出不等式x²-mx+n＜0的解集，利用根与系数的关系求出m、n的值；
（Ⅱ）根据a、b、c∈（0，1），且ab+bc+ac=1，求出（a+b+c）²的最小值，即可得出a+b+c的最小值．

解答 解：（Ⅰ）当2x-3≥0，即x≥$\frac{3}{2}$时，不等式|2x-3|＜x可化为2x-3＜x，
解得x＜3，∴$\frac{3}{2}$≤x＜3；
当2x-3＜0，即x＜$\frac{3}{2}$时，不等式|2x-3|＜x可化为3-2x＜x，
解得x＞1，∴1＜x＜$\frac{3}{2}$；
综上，不等式的解集为{x|1＜x＜3}；
∴不等式x²-mx+n＜0的解集为{x|1＜x＜3}，
∴方程x²-mx+n=0的两实数根为1和3，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m=1+3=4}\\{n=1×3=3}\end{array}\right.$，
∴m-n=4-3=1；
（Ⅱ）a、b、c∈（0，1），且ab+bc+ac=m-n=1，
∴（a+b+c）²=a²+b²+c²+2（ab+bc+ca）
≥$\frac{1}{2}$（2ab+2bc+2ac）+2（ab+bc+ac）
=3（ab+bc+ca）=3；
∴a+b+c的最小值是$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了解不等式以及根与系数的关系应用问题，也考查了基本不等式的应用问题，是综合题．