Question

5．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，点D为斜边BC上一点，且AC=CD=2．
（1）若CD=2BD，求AD的值；
（2）若AD=$\sqrt{2}$BD，求角B的正弦值．

Answer 1

分析 （1）依题意得DB=1，BC=CD+DB=3．在Rt△ABC中，求出cosC，在△ADC中，由余弦定理得：$A{D}^{2}=A{C}^{2}+C{D}^{2}-2AC•CDcosC=\frac{8}{3}$，即可．
（2）在△ADC中，由余弦定理得：AD²=8-8cosC．在Rt△ABC中，$BC=\frac{AC}{cosC}=\frac{2}{cosC}$，可得BD$\frac{2}{cosC}-2=\frac{2-2cosC}{cosC}$．由8-8cosC=2•（$\frac{2-2cosC}{cosC}$）²．解得cosC即可．

解答 解：（1）∵CD=2DB=2，∴DB=1，BC=CD+DB=3．
在Rt△ABC中，cosC=$\frac{AC}{BC}=\frac{2}{3}$，
在△ADC中，由余弦定理得：$A{D}^{2}=A{C}^{2}+C{D}^{2}-2AC•CDcosC=\frac{8}{3}$，
∴AD=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．
（2）在△ADC中，由余弦定理得：AD²=AC²+CD²-2AC•CDcosC=8-8cosC．
在Rt△ABC中，$BC=\frac{AC}{cosC}=\frac{2}{cosC}$，∴BD=BC-CD=$\frac{2}{cosC}-2=\frac{2-2cosC}{cosC}$．
∵AD²=2DB²，∴8-8cosC=2•（$\frac{2-2cosC}{cosC}$）²．解得cosC=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
∵$B+C=\frac{π}{2}$，∴sinB=cosC=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．

点评 本题考查了正弦、余弦定理在解三角形中的应用，同时考查了方程的思想及运算能力，属于中档题．