Question

20．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ） （A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$，x∈R）的图象的一部分如图所示．
（1）求函数f（x）的解析式．
（2）若f（$\frac{4α}{π}$）=1且α∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$），求sinα．

Answer 1

分析 （1）利用由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．
（2）利用同角三角的基本关系，求得 cos（α+$\frac{π}{4}$）的值，再利用两角差的正弦公式求得sinα=sin[（α+$\frac{π}{4}$）-$\frac{π}{4}$]的值．

解答 解：（1）根据函数f（x）=Asin（ωx+φ） （A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$，x∈R）的图象，
可得A=2，T=$\frac{2π}{ω}$=7+1，∴ω=$\frac{π}{4}$．
再根据五点法作图可得，$\frac{π}{4}$•（-1）+φ=0，求得φ=$\frac{π}{4}$，
故f（x）=2sin（$\frac{π}{4}$x+$\frac{π}{4}$）．
（2）若f（$\frac{4α}{π}$）=2sin（α+$\frac{π}{4}$）=1，∴sin（α+$\frac{π}{4}$）=$\frac{1}{2}$，
且α∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$），∴α+$\frac{π}{4}$∈（$\frac{π}{2}$，π），∴cos（α+$\frac{π}{4}$）=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴sinα=sin[（α+$\frac{π}{4}$）-$\frac{π}{4}$]=sin（α+$\frac{π}{4}$）cos$\frac{π}{4}$-cos（α+$\frac{π}{4}$）sin$\frac{π}{4}$=$\frac{1}{2}•\frac{\sqrt{2}}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$•$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$．

点评 本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，同角三角的基本关系，两角差的正弦公式的应用，属于基础题．