Question

已知二次函数f（x）=-x²+2ax-a在区间[0，1]上有最大值2，求实数a的值．

Answer 1

考点：二次函数在闭区间上的最值

专题：函数的性质及应用

分析：由题意得，函数f（x）的对称轴为：x=a，再分对称轴在区间的左侧、右侧、中间三种情况，分别根据函数在区间[0，1]上有最大值2，求出实数a的值．

解答： 解：由f（x）=-（x-a）²+a²-a，得函数f（x）的对称轴为：x=a，
 ①当a＜0时，f（x）在[0，1]上递减，根据函数在区间[0，1]上有最大值2，可得f（0）=2，即-a=2，∴a=-2．
②当a＞1时，f（x）在[0，1]上递增，根据函数在区间[0，1]上有最大值2，可得f（1）=2，即a=3．
③当0≤a≤1时，f（x）在[0，a]递增，在[a，1]上递减，∴f（a）=2，即a²-a=2，解得：a=2或-1，这与0≤a≤1矛盾．
综上，a=-2或a=3．

点评：本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，二次函数的性质的应用，体现了分类讨论的数学思想，属基础题．