Question

6．已知抛物线C：y²=2px（p＞0），其焦点F到其准线的距离为$\frac{1}{2}$，过焦点F且倾斜角为45°的直线l交抛物线C于A，B两点，求：
（1）抛物线C的方程及其焦点坐标；
（2）|AB|．

Answer 1

分析 （1）由抛物线的焦点F到其准线的距离为$\frac{1}{2}$，得到p=$\frac{1}{2}$，则抛物线方程可求；
（2）写出直线l的方程，联立直线方程和抛物线方程，利用根与系数的关系求得A，B的横坐标的和，代入抛物线的弦长公式得答案．

解答 解：（1）∵抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点F到其准线的距离为$\frac{1}{2}$，即p=$\frac{1}{2}$，
∴抛物线C的方程为y²=x．
焦点坐标为（$\frac{1}{4}，0$）；
（2）过焦点F且倾斜角为45°的直线l的方程为y=x-$\frac{1}{4}$，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=x-\frac{1}{4}}\\{{y}^{2}=x}\end{array}\right.$，得16x²-24x+1=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{24}{16}=\frac{3}{2}$，
∴|AB|=${x}_{1}+{x}_{2}+p=\frac{3}{2}+\frac{1}{2}=2$．

点评 本题考查了抛物线的方程，考查了直线与抛物线的关系，训练了弦长公式的应用，是中档题．