Question

1．已知数列{a_n}的各项均为正数，a₁=1，a₂=3，记A（n）=a₁+a₂+…+a_n，B（n）=a₂+a₃+…a_n+1，C（n）=a₃+a₄+…a_n+2，n∈N^*
（1）若对于任意的n∈N^*，三个数A（n），B（n），C（n）依次成等差数列，求数列{a_n}的通项公式；
（2）在（1）的条件下，设b_n=$\frac{1}{A（n）}$，n∈N^*，求证：b₁+b₂+…+b_n＜2，n∈N^*．

Answer 1

分析 （1）由题意得B（n）-A（n）=C（n）-B（n），从而a_n+2-a_n+1=a₂-a₁=2，则数列{a_n}是首项为1，公差为2的等差数列，于是a_n=1+（n-1）×2=2n-1；
（2）证明：由A（n）=n²，知b_n=$\frac{1}{{n}^{2}}$，将$\frac{1}{{n}^{2}}$放大为$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$，然后相加即可证明结论．

解答 （1）解：由于对任意的n∈N^*，三个数A（n），B（n），C（n）依次成等差数列，
则有B（n）-A（n）=C（n）-B（n），
即a_n+1-a₁=a_n+2-a₂，
又a₁=1，a₂=3，
所以a_n+2-a_n+1=a₂-a₁=2，
则数列{a_n}是首项为1，公差为2的等差数列，
于是a_n=1+（n-1）×2=2n-1；
（2）证明：在（1）的条件下，
A（n）即为等差数列{a_n}的前n项和，
所以A（n）=$n+\frac{n（n-1）}{2}×2$=n²，
设b_n=$\frac{1}{A（n）}$，n∈N^*，则b_n=$\frac{1}{{n}^{2}}$，
所以b₁+b₂+…+b_n=$\frac{1}{1}$+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{9}$+…+$\frac{1}{（n-1）^{2}}$+$\frac{1}{{n}^{2}}$
＜1+$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+…+$\frac{1}{（n-2）×（n-1）}$+$\frac{1}{（n-1）×n}$
=1+（1-$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$）+…+（$\frac{1}{n-2}$-$\frac{1}{n-1}$）+（$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$）
=2-$\frac{1}{n}$＜2，n∈N^*．

点评 本题是数列与函数、不等式相结合的综合题，主要考查放缩、裂项法，难度较大，考查了分析问题与解决问题的能力．